Équations dans C (2) - Corrigé

Énoncé

Préciser l’ensemble de définition des équations suivantes, puis les résoudre.
1. ${\displaystyle \frac{z}{iz+1}}+{\displaystyle \frac{3z}{z-i}}=2+i$

2.  ${\displaystyle \frac{z-1}{iz+2}}=3i$

3. ${\displaystyle \frac{z}{z-2i}}=-1+i$

4. ${\displaystyle \frac{\overline{z}+i}{\overline{z}-i}}=1+i$

Solution

1.  L’équation est définie pour tout  $z\in \mathbb{C}$ tel que $iz+1\ne 0$  et $z-i\ne 0$ .
Soit $z\in \mathbb{C},iz+1=0⟺z=-{\displaystyle \frac{1}{i}}⟺z=i$  et $z-i=0⟺z=i$ .
Donc l’équation est définie sur $\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{i\}$ .

Pour tout $z\in \mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{i\},$
$-{\displaystyle \frac{z}{iz+1}}+{\displaystyle \frac{3z}{z-i}}=-(-i){\displaystyle \frac{z}{(-i)(iz+1)}}+{\displaystyle \frac{3z}{z-i}}={\displaystyle \frac{iz}{z-i}}+{\displaystyle \frac{3z}{z-i}}={\displaystyle \frac{z(3+i)}{z-i}}.$

Donc  $-{\displaystyle \frac{z}{iz+1}}+{\displaystyle \frac{3z}{z-i}}=2+i⟺{\displaystyle \frac{z(3+i)}{z-i}}=2+i⟺z(3+i)=(2+i)(z-i)⟺z=1-2i$

Donc $S=\{1-2i\}$

2. L’équation est définie pour tout  $z\in \mathbb{C}$ tel que $iz+2\ne 0$ .
Soit $z\in \mathbb{C},iz+2=0⟺z=-{\displaystyle \frac{2}{i}}⟺z=2i.$
Donc l'équation est définie sur $\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{2i\}.$

Pour tout  $z\in \mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{2i\},{\displaystyle \frac{z-1}{iz+2}}=3i⟺z-1=3i(iz+2)⟺z-1=-3z+6i⟺z={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}i$
  $S=\{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}i\}$  

3. L’équation est définie sur $\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{2i\}.$
$S=\{{\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{6}{5}}i\}$

4.  L’équation est définie pour tout  $z\in \mathbb{C}$ tel que $\overline{z}-i\ne 0$ .
Soit $z\in \mathbb{C},\overline{z}-i=0⟺\overline{z}=i⟺z=-i$ .
Donc l'équation est définie sur  $\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{-i\},$  et pour tout  $z\in \mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{-i\},{\displaystyle \frac{\overline{z}+i}{z-i}}=1+i⟺\overline{z}+i=(1+i)(\overline{z}-i)⟺-i\overline{z}=-2i+1⟺\overline{z}=2+i⟺z=2-i.$

Donc, $S=\{2-i\}$ .