Équations dans C (2) - Corrigé

Énoncé

Préciser l’ensemble de définition des équations suivantes, puis les résoudre.
1. \(\dfrac{z}{iz+1}+ \dfrac{3z}{z-i}=2+i\)

2.  \(\dfrac{z-1}{iz+2}=3i\)

3. \(\dfrac{z}{z-2i}=-1+i\)

4. \(\dfrac{\bar{z}+i}{\bar{z}-i}=1+i\)

Solution

1.  L’équation est définie pour tout  \(z\in \mathbb{C}\) tel que \(iz+1\neq 0\)  et \(z-i \neq 0\) .
Soit \(z\in \mathbb{C}, \; iz+1=0\iff z=-\dfrac{1}{i}\iff z=i\)  et \(z-i=0\iff z=i\) .
Donc l’équation est définie sur \(\mathbb{C}\, \backslash\, \{i\}\) .

Pour tout \(z\in\mathbb{C}\, \backslash\, \{i\},\)
\(-\dfrac{z}{iz+1}+ \dfrac{3z}{z-i}=-(-i)\dfrac{z}{(-i)(iz+1)}+\dfrac{3z}{z-i}=\dfrac{iz}{z-i}+\dfrac{3z}{z-i}=\dfrac{z(3+i)}{z-i}.\)

Donc  \(-\dfrac{z}{iz+1}+ \dfrac{3z}{z-i}=2+i \iff \dfrac{z(3+i)}{z-i}=2+i \iff z(3+i)=(2+i)(z-i) \iff z=1-2i\)

Donc \(S=\{1-2i\}\)

2. L’équation est définie pour tout  \(z \in \mathbb{C}\) tel que \(iz+2\neq0\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}, iz+2=0\iff z=-\dfrac{2}{i}\iff z=2i.\)
Donc l'équation est définie sur \(\mathbb{C}\, \backslash\, \{2i\}.\)

Pour tout  \(z\in\mathbb{C}\, \backslash\, \{2i\}, \dfrac{z-1}{iz+2}=3i\iff z-1=3i(iz+2)\iff z-1=-3z+6i \iff z=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}i\)
  \(S = \left\{ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{3}{2}i \right\}\)  

3. L’équation est définie sur \(\mathbb{C}\, \backslash\, \{2i\}.\)
\(S = \left\{ \dfrac{2}{5}+ \dfrac{6}{5}i \right\}\)

4.  L’équation est définie pour tout  \(z\in \mathbb{C}\) tel que \(\bar{z}-i\neq0\) .
Soit \(z \in \mathbb{C}, \bar{z}-i=0 \iff \bar{z}=i \iff z=-i\) .
Donc l'équation est définie sur  \(\mathbb{C}\, \backslash\, \{-i\},\)  et pour tout  \(z\in\mathbb{C}\, \backslash\, \{-i\}, \dfrac{\bar{z}+i}{z-i}=1+i \iff \bar{z}+i=(1+i)(\bar{z}-i)\iff -i\bar{z}=-2i+1 \iff \bar{z}=2+i \iff z=2-i.\)

Donc, \(S= \{2-i\}\) .